拉格朗日
定义
假设一个物理系统符合完整系统的要求,即所有广义坐标都互相独立,则拉格朗日方程成立:{\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {q} }}=\mathbf {0} \,\!};
其中,{\displaystyle {\mathcal {L}}(\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} }},\ t)\,\!}是拉格朗日量,{\displaystyle \mathbf {q} =\left(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{N}\right)\,\!}是广义坐标,是时间{\displaystyle t\,\!}的函数,{\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}=\left({\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},\ldots ,{\dot {q}}_{N}\right)\,\!}是广义速度。
导引
在分析力学里,有三种方法可以导引出拉格朗日方程。最原始的方法是使用达朗贝尔原理导引出拉格朗日方程(参阅达朗贝尔原理);更进阶层面,可以从哈密顿原理推导出拉格朗日方程(参阅哈密顿原理);最简明地,可以借用数学变分法的欧拉-拉格朗日方程来推导:
设定函数{\displaystyle \mathbf {y} (x)\,\!}和{\displaystyle f(\mathbf {y} ,\ {\dot {\mathbf {y} }},\ x)\,\!}:{\displaystyle \mathbf {y} (x)=(y_{1}(x),\ y_{2}(x),\ \ldots ,y_{N}(x))\,\!}、{\displaystyle {\dot {\mathbf {y} }}(x)=({\dot {y}}_{1}(x),\ {\dot {y}}_{2}(x),\ \ldots ,\ {\dot {y}}_{N}(x))\,\!}、{\displaystyle f(\mathbf {y} ,\ {\dot {\mathbf {y} }},\ x)=f(y_{1}(x),\ y_{2}(x),\ \ldots ,\ y_{N}(x),\ {\dot {y}}_{1}(x),\ {\dot {y}}_{2}(x),\ \ldots ,\ {\dot {y}}_{N}(x),\ x)\,\!};
其中,{\displaystyle x\,\!}是自变量(independent variable)。
若{\displaystyle \mathbf {y} (x)\in (C^{1}[a,\ b])^{N}\,\!}使泛函{\displaystyle J(\mathbf {y} )=\int _{a}^{b}f(\mathbf {y} ,\ {\dot {\mathbf {y} }},\ x)dx\,\!}取得局部平稳值,则在区间{\displaystyle (a,\ b)\,\!}内,欧拉-拉格朗日方程成立:{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left({\frac {\partial }{\partial {\dot {y}}_{i}}}f(\mathbf {y} ,\ {\dot {\mathbf {y} }},\ x)\right)-{\frac {\partial }{\partial y_{i}}}f(\mathbf {y} ,\ {\dot {\mathbf {y} }},\ x)=0\ ,\qquad \qquad \qquad \qquad i=1,\ 2,\ \ldots ,\ N\!}。
现在,执行下述变换:
- 设定独立变量{\displaystyle x\,\!}为时间{\displaystyle t\,\!}、
- 设定函数{\displaystyle y_{i}\,\!}为广义坐标{\displaystyle q_{i}\,\!}、
- 设定泛函{\displaystyle f(\mathbf {y} ,\ {\dot {\mathbf {y} }},\ x)\,\!}为拉格朗日量{\displaystyle {\mathcal {L}}(\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} }},\ t)\,\!},
则可得到拉格朗日方程{\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {q} }}=\mathbf {0} \,\!}。
半完整系统
主项目:参阅半完整系统
一个不是完整系统的物理系统是非完整系统,不能用上述形式论来分析。假若,一个非完整系统的约束可以以方程表示为{\displaystyle g_{i}(\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} }})=0\ ,\qquad \qquad \qquad i=1,\ 2,\ 3,\ \dots n\,\!};
则称此系统为半完整系统[1]。
半完整系统可以用拉格朗日形式论来分析。更具体地说,分析半完整系统必须用到拉格朗日乘子{\displaystyle \lambda _{i}\,\!}:{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\ \lambda _{i}g_{i}=0\,\!};
其中,{\displaystyle \lambda _{i}=\lambda _{i}(\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} }},\ t)\,\!}是未知函数。
由于这{\displaystyle N\,\!}个广义坐标中,有{\displaystyle n\,\!}个相依的广义坐标,泛函{\displaystyle f(\mathbf {y} ,\ {\dot {\mathbf {y} }},\ x)\,\!}不能直接被变换为拉格朗日量{\displaystyle {\mathcal {L}}\,\!};必须加入拉格朗日乘子,将泛函{\displaystyle f(\mathbf {y} ,\ {\dot {\mathbf {y} }},\ x)\,\!}变换为{\displaystyle {\mathcal {L}}+\sum _{i=1}^{n}\ \lambda _{i}g_{i}\,\!}。这样,可以得到拉格朗日广义力方程:{\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {q} }}={\boldsymbol {\mathcal {F}}}\,\!};
其中,{\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {F}}}\,\!}是广义力,{\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {F}}}={\frac {\partial }{\partial \mathbf {q} }}\left(\sum _{i=1}^{n}\ \lambda _{i}g_{i}\right)-{\frac {d}{dt}}\left[{\frac {\partial }{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\left(\sum _{i=1}^{n}\ \lambda _{i}g_{i}\right)\right]\,\!}。
这{\displaystyle N\,\!}个广义力运动方程加上{\displaystyle n\,\!}个约束方程,给出{\displaystyle N+n\,\!}个方程来解{\displaystyle N\,\!}个未知广义坐标与{\displaystyle n\,\!}个拉格朗日乘子。
实例[编辑]
这个段落会展示拉格朗日方程的两个应用实例。第一个实例展示出,用牛顿方法与拉格朗日方法所得的答案相同。第二个实例展示出拉格朗日方法的威力,因为这问题比较不适合用牛顿方法来分析。
自由落体[编辑]
思考一个粒子从静止状态自由地下落。由于重力{\displaystyle F=mg\,\!}作用于此粒子,应用牛顿第二定律,可以得到运动方程{\displaystyle {\ddot {x}}=g\,\!};
其中,x-坐标垂直于地面,由初始点(原点)往地面指。
这个结果也可以从拉格朗日形式论得到。动能{\displaystyle T\,\!}是{\displaystyle T={\frac {1}{2}}mv^{2}\,\!},
位势{\displaystyle V\,\!}是{\displaystyle V=-mgx\,\!};
所以,拉格朗日量{\displaystyle {\mathcal {L}}\,\!}是{\displaystyle {\mathcal {L}}=T-V={\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}+mgx\,\!} 。
将{\displaystyle {\mathcal {L}}\,\!}代入拉格朗日方程,{\displaystyle 0={\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}}}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x}}=m{\frac {d{\dot {x}}}{dt}}-mg\,\!}。
运动方程是{\displaystyle {\ddot {x}}=g\,\!};
与牛顿方法的运动方程相同。
具有质量的移动支撑点的简单摆[编辑]
思考一个简单摆系统。系统的x-轴平行于地面,y-轴垂直于x-轴,指向地面。摆锤P的质量是{\displaystyle m\,\!},位置是{\displaystyle (x,\ y)\,\!}。摆绳的长度是{\displaystyle l\,\!}。摆的支撑点Q的质量是{\displaystyle M\,\!}。这支撑点Q可以沿着一条平行于x-轴的直线移动。点Q的位置是{\displaystyle (X,\ 0)\,\!}。摆绳与y-轴的夹角是{\displaystyle \theta \,\!}。那么,动能是{\displaystyle T={\frac {1}{2}}M{\dot {X}}^{2}+{\frac {1}{2}}m\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}\right)\,\!},
位势为{\displaystyle V=-mgy\,\!}。
所以,拉格朗日量是{\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}M{\dot {X}}^{2}+{\frac {1}{2}}m\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}\right)+mgy\,\!}。
两个约束方程为{\displaystyle x=X+l\sin \theta \,\!}、{\displaystyle y=l\cos \theta \,\!}。
将约束方程代入拉格朗日量方程,{\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}M{\dot {X}}^{2}+{\frac {1}{2}}m\left[\left({\dot {X}}+l{\dot {\theta }}\cos \theta \right)^{2}+\left(l{\dot {\theta }}\sin \theta \right)^{2}\right]+mgl\cos \theta \,\!}。
特别注意,在这里,广义坐标是{\displaystyle X\,\!}与{\displaystyle \theta \,\!}。应用拉格朗日方程,经过微分运算,对于{\displaystyle X\,\!}坐标,可以得到{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left[(M+m){\dot {X}}+ml{\dot {\theta }}\cos \theta \right]=0\,\!}。
运动方程为{\displaystyle (M+m){\ddot {X}}+ml{\ddot {\theta }}\cos \theta -ml{\dot {\theta }}^{2}\sin \theta =0\,\!}。
由于拉格朗日量不显含广义坐标{\displaystyle X\,\!},称{\displaystyle X\,\!}为可略坐标,而其相对应的广义动量{\displaystyle p_{X}\,\!}是常数{\displaystyle K_{1}\,\!}:{\displaystyle p_{X}=(M+m){\dot {X}}+ml{\dot {\theta }}\cos \theta =K_{1}\,\!}。
对于{\displaystyle \theta \,\!}坐标,可以得到{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left[m(l^{2}{\dot {\theta }}+{\dot {X}}l\cos \theta )\right]+m({\dot {X}}l{\dot {\theta }}+gl)\sin \theta =0\,\!};
所以,运动方程为{\displaystyle {\ddot {\theta }}+{\frac {\ddot {X}}{l}}\cos \theta +{\frac {g}{l}}\sin \theta =0\,\!}。
假如用牛顿第二定律,则必须仔细地辨明所有的相关作用力。这是一项既困难又容易出错的工作。